97久久精品人人做人人爽-97久久香蕉国产线看观看-996久久国产精品线观看-9999国产精品欧美久久久久久

2019年，王元在辦公室。劉建亞/攝

1981年，王元、陳景潤、潘承洞（從左至右）在山東大學。劉建亞供圖

1996年，王元（右）與劉建亞在香港。臧文安/攝

70年前，一位年輕的數學家，在哥德巴赫猜想這座數學高峰上，繼華羅庚之后又留下一個屬于中國人的足跡——證明了命題“3+4”。他就是王元，時年25歲。1955年7月，他將論文《表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數乘積的乘積之和》投稿至《數學學報》，次年9月發表，轟動世界。

“元老”是中國數學界對中國科學院院士王元的親切稱呼，一則出于其名，二則因為他是中國數學界尤其是數論方向的先驅人物。今年是元老證明“3+4”定理70周年。

華羅庚與哥德巴赫猜想討論班

哥德巴赫猜想以其簡潔的語言預測了素數之間的加法關系，被譽為“數學王冠上的明珠”，是數學史上最著名且最具挑戰性的問題之一。

1742年，哥德巴赫在與歐拉的通信中提出了這一猜想：任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和。這一命題看似簡單，卻深刻揭示了素數分布的規律性，吸引了無數數學家的關注。希爾伯特曾將哥德巴赫猜想收入其著名的23個數學問題之中，此后哈代、利特伍德、維諾格拉多夫、華羅庚等數學大師，都先后對哥德巴赫猜想作出了杰出貢獻。

華羅庚曾指出：“哥德巴赫猜想真是美極了，現在還沒有一個方法可以證明它。”1938年，在英國劍橋大學訪學期間，華羅庚證明了幾乎所有的偶數都可以表示為兩個素數之和，即哥德巴赫猜想對幾乎所有的偶數都成立。這一成就使華羅庚成為哥德巴赫猜想研究的世界頂級專家。

1953年，華羅庚在中國科學院數學研究所組織了一個專門研究哥德巴赫猜想的討論班。他以深厚的數學造詣和高瞻遠矚的學術眼光，為討論班制定了明確的研究方向，并鼓勵年輕人創新。討論班由年輕人輪流主講，王元是主要演講人之一。這個討論班為新中國培養了一代杰出的數論學家。

華羅庚選擇將哥德巴赫猜想作為討論班的主題，是因為這一猜想與解析數論中所有的重要方法都有聯系。通過學習研究哥德巴赫猜想，青年學者能夠掌握解析數論中最重要的方法。討論班的研究計劃涵蓋了當時國際上研究哥德巴赫猜想的最先進方法與成果，包括塞爾伯格篩法、布朗方法、布赫施塔布方法等。

華羅庚在討論班上不斷提問，確保每個細節都被徹底理解。雖然這種教學方法進展較慢，但參與者受益匪淺。遺憾的是，哥德巴赫猜想討論班1956年被迫中斷，未能完成所有計劃。

王元與“3+4”

20世紀初，數學家開始嘗試用篩法研究哥德巴赫猜想。簡單來說，篩法就是容斥原理的深化與細化，其核心思想是通過篩掉合數保留素數。這種過度簡化的說法，雖然有助于理解篩法的性質，但是完全不能傳遞篩法極其復雜、艱深的一面。

基于篩法的特點，學習篩法最好的方法是研讀論文，而非聽講。筆者曾在不同場合強調：“要想迅速讓對方打消學習數論的念頭，就給他講篩法的證明。”這句話，雖有調侃的成分，但確實符合實情。

1920年，挪威數學家布朗證明了命題“9+9”，這一成果開啟了篩法在哥德巴赫猜想研究中的應用。隨后，國際上一批數學家不斷改進篩法，逐步降低了命題“a+b”中的素因子個數。1938年，蘇聯數學家布赫施塔布將結果推進到“5+5”，1940年，他又證明了“4+4”。這些成果為后續研究奠定了基礎。

在討論班舉辦期間，華羅庚建議王元用篩法改進哥德巴赫猜想的已有結果，并特別指出塞爾伯格篩法的重要性。通過討論班的學習，王元已經掌握了布朗的方法，但他沒來得及研究布赫施塔布的方法，討論班就終止了。

由于布赫施塔布1938年和1940年的兩篇重要論文是用俄文發表的，王元一度無法獲取這些資料。后來，他聽說中國科學院圖書館進口了一批俄文雜志，便立即前往借閱。這批雜志剛到，且尚未編目，便堆放在書庫的地上。王元花了一整天時間，將布赫施塔布的兩篇論文手抄下來。

王元發現，布赫施塔布的方法實際上是篩函數的一個迭代公式，以恒等式的形式呈現。每迭代一次，篩函數的上下界估計就會得到改進。布赫施塔布首先用布朗方法計算出篩函數的上下界，作為初始值，再通過迭代公式逐步改進，從而改進了布朗方法，并于1938年和1940年分別證明了命題“5+5”和“4+4”。

王元的思路是，用塞爾伯格篩法得出在各個范圍內篩函數的上界，再用布朗方法估計篩函數的下界，并結合布赫施塔布的篩函數下界估計， 以此作為篩函數的初始值，反復用布赫施塔布的方法迭代幾次，最終證明了定理“3+4”。在論文的引言部分，王元表達了對華羅庚的感激之情：“華羅庚教授指出，用塞爾伯格方法結合布朗-布赫施塔布的方法可以改進上述結果，本文的目的在于根據這一指示將上述結果改進為‘3+4’。”

這篇論文受到了極大重視，王元因此獲得了480多元的特等稿費，而當時一名大學畢業生的月薪僅為50多元。王元回憶說，這筆稿費足以購買一塊歐米茄手表、一件大衣和一套西服。

從“3+4”到現在

在證明“3+4”之后，王元于1957年又發表了定理“2+3”的證明。受王元工作的激勵，中國數學家繼續在哥德巴赫猜想的研究上不斷攀登。此后，潘承洞證明了“1+5”，潘承洞與王元各自證明了“1+4”，陳景潤則證明了“1+2”。

講述此類故事的相關文章中最著名的，當數作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，它影響了中國整整一代人。上世紀七八十年代，許多青年學子因為這篇報告文學而選擇終身投入數學研究。一篇報告文學能有如此大的影響力，這在中國數學史乃至世界數學史上都是一個奇跡。

與廣為人知的“3+4”定理相比，很少有人知道，王元不僅是潘承洞“1+5”論文和陳景潤“1+2”論文的審稿人，還對這兩篇論文給予了大力支持。為了弄清潘承洞“1+5”論文的證明細節，王元與潘承洞通信60余封。正如中國科學院院士文蘭后來評價的那樣：“這個故事太美麗動人了……潘承洞、王元都是胸懷坦蕩。”

陳景潤的“1+2”證明摘要1966年發表于《科學通報》，但由于當時中國的科技刊物停刊，“1+2”的證明全文直到1973年《中國科學》復刊才得以發表。在1966年的摘要中，陳景潤最關鍵的“轉換原理”并未出現，因此國外數學家普遍認為“1+3”仍然是最好的結果。而王元與閔嗣鶴作為審稿人，是少數了解陳景潤“轉換原理”的人。

1996年，元老在香港對我說：“陳景潤的轉換原理是證明‘1+2’的關鍵，我只要看一眼轉換原理，就能明白其余應該怎么做，用一個星期時間就能自己給出‘1+2’的證明。”以上故事不僅展現了元老高尚的人品和純粹的學術追求，也是中國數論學派在艱難時期團結奮斗的生動寫照。

元老曾經辛勤耕耘的解析數論領域正在蓬勃發展，歷久彌新。進入新世紀以來，篩法與解析方法的綜合應用催生了一批重要的研究成果。2013年，華人數學家張益唐在孿生素數猜想研究中取得突破性進展，證明了相鄰素數的有限差定理，為這一經典問題作出了決定性貢獻。此外，塞爾伯格提出的高維篩法在陶哲軒、梅納德等數學家的推動下煥發出新的活力，展現出驚人的潛力。如今，一批中外青年數學家正繼續在這一領域探索，譜寫著解析數論的絢麗華章。

元老的“3+4”定理，是中國學派用篩法研究哥德巴赫猜想的第一座里程碑，它證明了中國數學家有能力在最前沿的數學領域做出世界級的成果。哥德巴赫猜想的研究仍在繼續，數學的高峰依然等待著攀登者。王元的“3+4”定理，將永遠銘刻在中國數學發展的史冊上，激勵著一代又一代中國數學人，向著數學高峰不斷攀登。

溫暖的回憶

1996年秋冬之際，我正在香港大學從事博士后研究，元老受我的合作導師廖明哲教授邀請訪問香港大學。在港期間，元老時間充裕，我與元老除了在辦公室座談，還經常散步交流，既談國內研究現狀，又談國際研究潮流。元老對中國解析數論始終抱有很深的責任感和危機感。

有一次元老很認真地對我說：“好的定理應該能站得住100年，但能站得住50年的定理就已經很少了。”元老證明的“3+4”定理，歷經七十載仍光輝燦爛，其光芒必將穿越百年，也將不斷激勵后輩在通往科學的高峰上努力拼搏。

2021年5月14日，王元先生不幸逝世。時隔4年，謹以此文表達對元老的無限敬仰與懷念。

（作者：劉建亞，系山東大學副校長）

（原載于《中國科學報》?2025-05-22?第4版?人物）